Question

如果對于正整數(shù)n，7ⁿ的個位數(shù)用a_n表示，那么
（1）求a₂₀₁₀的值；
（2）當(dāng)n為什么數(shù)時，-n²+2na_n取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由7¹=7，7²=49，7³=343，7⁴=2401，7⁵=16807，…可以看出當(dāng)指數(shù)除以4，余數(shù)是幾，就與7的幾次方的尾數(shù)相同，由此解決問題．
（2）先將-n²+2na_n變形為a_n²-（n-a_n）²，分n≠4k+2，-n=4k+2兩種情況討論求解．
解答：解：（1）∵a₁=7，a₂=9，a₃=3，a₄=1，并且a_n+4=a_n，
∴a₂₀₁₀=a₂=9；

（2）∵-n²+2na_n=a_n²-（n-a_n）²，
當(dāng)n≠4k+2時，-n²+2na_n≤a_n²≤7²＜80；
當(dāng)n=4k+2時，-n²+2na_n=81-（n-9）²≤81-1=80，
僅當(dāng)n=10時等號成立．
∴當(dāng)n=10時，-n²+2na_n取得最大值80．
點評：本題考查了尾數(shù)特征，解決此類問題要在計算中找出規(guī)律：7ⁿ的個位數(shù)4個一循環(huán)，同時注意分類思想的應(yīng)用．