Question

20．如圖，△ABC為等邊三角形，P為BC上一點，△APQ為等邊三角形，PQ與AC相交于點M，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP²=AM•AC；④若BP=PC，則PQ⊥AC．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根據(jù)SAS證△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根據(jù)平行線的判定推出即可，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠BAP=30°，求出∠PMA=90°，即可得出答案．

解答 證明：如圖，∵△ABC和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，故②正確，
∴AB∥CQ，故①正確，
∵∠APQ=∠ACQ=60°，∠PAC=∠PAC，
∴△APM∽△ACP，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AM}{AP}$，
∴AP²=AC•AM，故③正確，
∵BP=PC，
∴∠BAP=30°，
∴∠PAC=30°，
∵∠APM=60°，
∴∠AMP=90°，
∴PQ⊥AC，故④正確．
故選：D．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．