Question

如圖，在三角形ABC中，BD，CE分別為三角形ABC的高，連結(jié)DE，M，N分別為BC，DE中點．
（1）MN與DE有何位置關系？試說明理由；
（2）若DE=10，MN=2

14

，求BC的長；
（3）試探究當∠A為多少度時，三角形MDE為等邊三角形．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定

專題：

分析：（1）連接EM，DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM為BC的一半，DM也為BC的一半，推出EM=DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EM=BM，CM=DM，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，即可求出∠EMD，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可．

解答：解：（1）
MN⊥DE，
理由是：連接EM和DM，
∵BD，CE分別為三角形ABC的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵M，N分別為BC，DE中點，
∴DM=

1

2

BC，EM=

1

2

BC，
∴EM=DM，
∵N為DE的中點，
∴MN⊥DE；

（2）∵DE=10，N為DE的中點，
∴DN=5，
∵MN=2

14

，
∴在Rt△DNM中，由勾股定理得：DM=

DN2+MN2

=9，
∴BC=2DM=18；

（3）∠A為60度時，三角形MDE為等邊三角形，
理由是：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠BEC=∠BDC=90°，M為BC的中點，
∴BM=EM，CM=DM，
∴∠ABC=∠BEM，∠ACB=∠CDM，
∴∠EMB+∠CMD=180°-∠ABC-∠BEC+180°-∠ACB-∠CDM=360°-120°-120°=120°，
∴∠EMD=180°-120°=60°，
∵EM=DM，
∴△EMD是等邊三角形，
即∠A為60度時，三角形MDE為等邊三角形．

點評：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應用，解此題的關鍵是正確作出輔助線，并求出EM=DM，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．