Question

15．如圖，線段AB的長為10cm，點D在AB上，△ACD為等邊三角形，過點D作DP⊥CD，點G是DP上不與點D重合的一動點，作矩形CDGH．記矩形CDGH的對角線交點為O，連接OA、OB，
（1）∠OAB=30度；
（2）線段BO的最小值為5cm．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：OC=OD，再證明△ACO≌△ADO，則∠OAB=30°；
（2）如圖2，點O一定在∠CAB的平分線上運動，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)OB⊥AO時，OB的長最小，根據(jù)直角三角形30度角所對的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC=$\frac{1}{2}$CG，OD=$\frac{1}{2}$DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∵OA=OA，
∴△ACO≌△ADO，
∴∠OAB=∠CAO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
故答案為：30；
（2）如圖2，由（1）可知：點O一定在∠CAB的平分線上運動，所以當(dāng)OB⊥AO時，OB的長最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
即OB的最小值為5cm，
故答案為：5．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，利用了矩形對角線相等且平分的性質(zhì)得對角線的一半相等，為三角形全等用鋪墊；另外還利用了垂線段最短解決了求最值問題．