Question

10．如圖，正三角形ABC的邊長為1，點A，B在半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓上，點C在圓內(nèi)，將正三角形ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C第一次落在圓上時，則點C轉(zhuǎn)過的度數(shù)為30°．

Answer 1

分析 設(shè)圓心為O，點C的對應(yīng)點為C′，連接OA、OB、OC′，利用勾股定理逆定理求出∠AOC′=∠AOB=90°，從而判斷出點B、O、C′三點共線，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠BAC′=90°，再根據(jù)點C轉(zhuǎn)過的度數(shù)=∠BAC′-∠BAC代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答 解：如圖設(shè)圓心為O，點C的對應(yīng)點為C′，連接OA、OB、OC′，
∵正三角形ABC的邊長為1，點A，B在半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圓上，
∴AO²+C′O²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴AO²+C′O²=AC′²，
∴∠AOC′=90°，
同理可得∠AOB=90°，
∴∠AOC′=∠AOB=90°，
∴點B、O、C′三點共線，
∴∠BAC′=90°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴點C轉(zhuǎn)過的度數(shù)=∠BAC′-∠BAC=90°-60°=30°．
故答案為：30°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，解答本題關(guān)鍵在于巧妙計算出點B、O、C′三點共線．