Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AB的中點，過點A作直線CD的垂線交CD的延長線于點H，交CB的延長線于點M．
（1）求證：AH•AB=AC•BC；
（2）求證：HM•AB=CH•AM．

Answer 1

分析 （1）欲證明AH•AB=AC•BC，只要證明△CAH∽△ABC即可．
（2）由S_△ACM=$\frac{1}{2}$•AM•CH=$\frac{1}{2}$•AC•CM，推出AM•CH=AC•CM，再證明△MCH∽△ABC，得到$\frac{MC}{AB}$=$\frac{MH}{AC}$，推出MC•AC=AB•MH，由此即可證明．

解答 證明：（1）∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB，
∴∠CAD=∠ACD，
∵CH⊥AM，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴△CAH∽△ABC，
∴$\frac{CA}{AB}$=$\frac{AH}{BC}$，
∴AH•AB=AC•BC．

（2）∵S_△ACM=$\frac{1}{2}$•AM•CH=$\frac{1}{2}$•AC•CM，
∴AM•CH=AC•CM，
∵CD=BD，
∴∠HCM=∠ABC，∵∠CHM=∠ACB=90°，
∴△MCH∽△ABC，
∴$\frac{MC}{AB}$=$\frac{MH}{AC}$，
∴MC•AC=AB•MH，
∴HM•AB=CH•AM．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、直角三角形面積的兩種求法等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．