Question

15．如圖，是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分．已知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（-1，0）．有下列結(jié)論：
①abc＞0；
②4a-2b+c＜0；
③4a+b=0；
④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（5，0）；
⑤點(diǎn)（-3，y₁），（6，y₂）都在拋物線上，則有y₁＜y₂；
⑥am²+bm＞4a+2b．
則結(jié)論正確的是①③④⑥．（填序號(hào)）

Answer 1

分析 ①先根據(jù)拋物線開口方向、對(duì)稱軸位置、拋物線與y軸交點(diǎn)位置求得a、b、c的符號(hào)，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則即可判斷；
②把x=-2代入函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象即可判斷；
③根據(jù)對(duì)稱軸求出b=-4a，即可判斷；
④根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷；
⑤先求出點(diǎn)（-3，y₁）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的增減性即可判斷y₁和y₂的大小；
⑥根據(jù)拋物線的增減性進(jìn)行判斷．

解答 解：①∵二次函數(shù)的圖象開口向上，
∴a＞0，
∵二次函數(shù)的圖象交y軸的負(fù)半軸于一點(diǎn)，
∴c＜0，
∵對(duì)稱軸是直線x=2，
∴-$\frac{2a}$=2，
∴b=-4a＜0，
∴abc＞0．
故①正確；

②把x=-2代入y=ax²+bx+c
得：y=4a-2b+c，
由圖象可知，當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，
即4a-2b+c＞0．
故②錯(cuò)誤；

③∵b=-4a，
∴4a+b=0．
故③正確；

④∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（-1，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（5，0）．
故④正確；

⑤∵（-3，y₁）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（7，y₁），
又∵當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，7＞6，
∴y₁＞y₂．
故⑤錯(cuò)誤；

⑥當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c為最小值，則當(dāng)m≠2時(shí)，4a+2b+c＜am²+bm+c，即當(dāng)m≠2時(shí)，4a+2b＜am²+bm，
故⑥正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是①③④⑥．
故答案是：①③④⑥．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），a的符號(hào)由拋物線的開口方向決定；b的符號(hào)由對(duì)稱軸的位置與a的符號(hào)決定；c的符號(hào)由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置決定；拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，此外還要根據(jù)圖象判斷x=-2時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)及二次函數(shù)的增減性．