Question

4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b．AB=c，將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示，該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．
（1）請(qǐng)你利用這個(gè)圖形證明勾股定理．
（2）請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說明a²+b²≥2ab，并說明等號(hào)成立的條件．
（3）設(shè)a=$\sqrt{x}$，b=$\sqrt{y}$，代入a²+b²≥2ab中，你能得到什么結(jié)論？
根據(jù)你得到的結(jié)論解決下面的問題：長(zhǎng)為x，寬為y的矩形，其周長(zhǎng)為16，請(qǐng)問當(dāng)x，y取何值時(shí)，該矩形面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式．
（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可．
（3）把a(bǔ)、b的值代入a²+b²≥2ab中，進(jìn)行計(jì)算得到a+b≥2$\sqrt{ab}$．利用該結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時(shí)，該矩形面積最大以及其最大面積．

解答 解：（1）∵大正方形面積為c²，直角三角形面積為$\frac{1}{2}$ab，小正方形面積為：（b-a）²，
∴c²=4×$\frac{1}{2}$ab+（a-b）²=2ab+a²-2ab+b²
即c²=a²+b²．

（2）∵（a-b）²≥0，
∴a²-2ab+b²≥0，
∴a²+b²≥2ab，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．

（3）把a(bǔ)=$\sqrt{x}$，b=$\sqrt{y}$，代入a²+b²≥2ab中得到：a+b≥2$\sqrt{ab}$．
依題意得：x+y=8．
則x+y≥2$\sqrt{xy}$，即8≥2$\sqrt{xy}$，
∴xy≤16，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)取“=”．
∴當(dāng)x=y=4時(shí)，該矩形面積最大，最大面積是16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題．需要學(xué)生掌握勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵．