Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C，B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．
（1）求拋物線的表達式；
（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；
（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；
（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當CM=MN，且∠CMN=90°時，求此時△CMN的面積．

Answer 1

分析 （1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax²+bx中，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）先求得拋物線對稱軸為x=2，由點B的坐標可得到點C的坐標，從而得到BC的長，然后依據(jù)三角形的面積公式求解即可
（3）過P點作PD⊥BH交BH于點D．設點P（m，-m²+4m），則BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，然后依據(jù)S_△ABP=S_△ABH+S_{四邊形HAPD}-S_△BPD，列出關于m的方程，從而可求得m的值于是可求得點P的坐標；
（4）①當點M在x軸上方時，先證明三角形△CBM≌△MHN，從而可求得BC=MH=2，BM=1，于是可得到點M，N的坐標，然后依據(jù)勾股定理求得MC的長，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可；②如圖3所示：當點M在x軸下方時，過點M作平行與x軸的直線，然后分別過點N和點C作x軸的垂線，從而可構造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC，接下來，再證明Rt△NEM≌Rt△MDC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到EM=CD=5，MD=ME=2，然后依據(jù)勾股定理可求得CM的長，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax²+bx中，得$\left\{\begin{array}{l}0=16a+4b\\ 3=a+b\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\end{array}\right.$，
∴拋物線表達式為：y=-x²+4x．
（2）拋物線對稱軸為x=-$\frac{2a}$=2．
∵點C，B關于拋物線的對稱軸對稱，點B的坐標為（1，3），
∴點C的坐標為（3，3）．
∴BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
（3）過P點作PD⊥BH交BH于點D．

設點P（m，-m²+4m），
根據(jù)題意得：BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_{四邊形HAPD}-S_△BPD，即6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m）．
整理得：3m²-15m=0，
解得：m₁=0（舍去），m₂=5，
∴點P坐標為（5，-5）．
（4）當CM=MN，且∠CMN=90°時，分情況討論：
①當點M在x軸上方時，如圖2所示：

∵∠CMN=90°，
∴∠BMC+∠NMH=90°．
又∵∠BMC+∠BCM=90°，
∴∠NMH=∠BCM．
在△BCM和△HMN中$\left\{\begin{array}{l}{∠NMH=∠BCM}\\{∠CBM=∠MHN}\\{MC=MN}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△MHN．
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴M（1，2），N（2，0），
由勾股定理得：MC=$\sqrt{{2^2}+{1^2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$．
②當點M在x軸下方時，如圖3所示：構造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC

∵∠NMC=90°，
∴∠NME+∠CMD=90°．
∵∠ENM+∠EMN=90°，
∴∠CMD=∠ENM．
在Rt△NEM和Rt△MDC中$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠ENM}\\{∠NEM=∠MDC}\\{MN=MC}\end{array}\right.$
∴Rt△NEM≌Rt△MDC．
∴EM=CD=5，MD=ME=2，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{{2^2}+{5^2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$=$\frac{29}{2}$；
綜上所述：△CMN的面積為：$\frac{5}{2}$或$\frac{29}{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，作輔助線，構造出全的三角形，求得等腰直角三角形的直角邊長是解題的關鍵．