Question

11．已知拋物線y=-x²-2x+a（a≠0）與y軸相交于A點，頂點為M，直線y=$\frac{1}{2}$x-a分別與x軸、y軸相交于B，C兩點，并且與直線MA相交于N點．
（1）若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示交點M，A的坐標(biāo)；
（2）將△NAC沿著y軸翻轉(zhuǎn)，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于點D，連接CD，求a的值及△PCD的面積；
（3）在拋物線y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先聯(lián)立拋物線與直線的解析式得出關(guān)于x的方程，再由直線BC和拋物線有兩個不同交點可知△＞0，求出a的取值范圍，令x=0求出y的值即可得出A點坐標(biāo)，把拋物線的解析式化為頂點式的形式即可得出M點的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線MA的解析式，聯(lián)立兩直線的解析式可得出N點坐標(biāo)，進而可得出P點坐標(biāo)，根據(jù)S_△PCD=S_△PAC-S_△ADC可得出結(jié)論；
（3）分點P在y軸左側(cè)與右側(cè)兩種情況進行討論即可．

解答 解：（1）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}y=-{x}^{2}-2x+a\\ y=\frac{1}{2}x-a\end{array}\right.$，整理得2x²+5x-4a=0．
∵△=25+32a＞0，解得a＞-$\frac{25}{32}$．
∵a≠0，
∴a＞-$\frac{25}{32}$且a≠0．
令x=0，得y=a，
∴A（0，a）．
由y=-（x+1）²+1+a得，M（-1，1+a）．

（2）設(shè)直線MA的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（0，a），M（-1，1+a），
∴$\left\{\begin{array}{l}1+a=-k+b\\ a=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=a\end{array}\right.$，
∴直線MA的解析式為y=-x+a，
聯(lián)立得，$\left\{\begin{array}{l}y=-x+a\\ y=\frac{1}{2}x-a\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4a}{3}\\ y=-\frac{a}{3}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$）．
∵點P是點N關(guān)于y軸的對稱點，
∴P（-$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$）．
代入y=-x²-2x+a得，-$\frac{a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²+$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{9}{4}$或a=0（舍去）．
∴A（0，$\frac{9}{4}$），C（0，-$\frac{9}{4}$），M（-1，$\frac{13}{4}$），|AC|=$\frac{9}{2}$，
∴S_△PCD=S_△PAC-S_△ADC=$\frac{1}{2}$|AC|•|x_p|-$\frac{1}{2}$|AC|•|x₀|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{9}{2}$•（3-1）
=$\frac{9}{2}$；

（3）①當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，
∵四邊形APCN是平行四邊形，
∴AC與PN互相平分，N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），
∴P（-$\frac{4a}{3}$，$\frac{a}{3}$）；
代入y=-x²-2x+a得，$\frac{a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²+$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{15}{8}$，
∴P₁（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{8}$）．
②當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，
∵四邊形ACPN是平行四邊形，
∴NP∥AC且NP=AC，
∵N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），A（0，a），C（0，-a），
∴P（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{7a}{3}$）．
代入y=-x²-2x+a得，-$\frac{7a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²-$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{3}{8}$，
∴P₂（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{8}$）．
綜上所述，當(dāng)點P₁（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{8}$）和P₂（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{8}$）時，A、C、P、N能構(gòu)成平行四邊形．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大．