Question

11．（1）如圖①，AD是△ABC的中線，△ABD與△ACD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
（2）若三角形的面積記為S，例如：△ABC的面積記為S_△ABC，如圖②，已知S_△ABC=1，△ABC的中線AD、CE相交于點O，求四邊形BDOE的面積．
小華利用（1）的結(jié)論，解決了上述問題，解法如下：
連接BO，設(shè)S_△BEO=x，S_△BDO=y，
由（1）結(jié)論可得：S${\;}_{△BCE}={S}_{ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$，
                S_△BCO=2S_△BDO=2y，
                S_△BAO=2S_△BEO=2x．
則有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{△BEO}+{S}_{△BCO}={S}_{△BCE}}\\{{S}_{△BAO}+{S}_{△BDO}={S}_{△BAD}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=\frac{1}{2}}\\{2x+y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
所以$x+y=\frac{1}{3}．即四邊形BDOE面積為\frac{1}{3}$．
請仿照上面的方法，解決下列問題：
①如圖③，已知S_△ABC=1，D、E是BC邊上的三等分點，F(xiàn)、G是AB邊上的三等分點，AD、CF交于點O，求四邊形BDOF的面積．
②如圖④，已知S_△ABC=1，D、E、F是BC邊上的四等分點，G、H、I是AB邊上的四等分點，AD、CG交于點O，則四邊形BDOG的面積為$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 （1）利用等底等高的三角形面積相等求解即可；
（2）①連接BO，設(shè)S_△BDO=x，S_△BGO=y，根據(jù)三角形間的面積關(guān)系列出方程組求解即可；
②連接BO，設(shè)S_△BDO=x，S_△BGO=y，根據(jù)三角形間的面積關(guān)系列出方程組求解即可．

解答 解：（1）S_△ABD=S_△ACD．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
又∵△ABD與△ACD高相等，
∴S_△ABD=S_△ACD．
（2）①如圖3，連接BO，設(shè)S_△BFO=x，S_△BDO=y，

S_△BCF=S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$
S_△BCO=3S_△BDO=3y，
S_△BAO=3S_△BFO=3x．
則有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{△BFO}+{S}_{△BCO}={S}_{△BCF}}\\{{S}_{△BDO}+{S}_{△BAO}={S}_{△ABD}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=\frac{1}{3}}\\{y+3x=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
所以x+y=$\frac{1}{6}$，即四邊形BDOF的面積為$\frac{1}{6}$；
②如圖，連接BO，設(shè)S_△BDO=x，S_△BGO=y，

S_△BCG=S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，
S_△BCO=4S_△BDO=4x，
S_△BAO=4S_△BGO=4y．
則有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{△BDO}+{S}_{△AOB}={S}_{△ABD}}\\{{S}_{△BGO}+{S}_{△BCO}={S}_{△BCG}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+4y=\frac{1}{4}}\\{y+4x=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以x+y=$\frac{1}{10}$，即四邊形BDOG的面積為$\frac{1}{10}$，
故答案為：$\frac{1}{10}$．

點評 本題主要考查了面積與等積變換，等底等高的三角形的面積相等等知識，解題的關(guān)鍵是正確分析三角形各部分之間的關(guān)系．