Question

17．已知關于x的一元二次方程x²-（m+1）x+$\frac{{m}^{2}+4}{4}$=0的兩根是一個矩形的兩鄰邊的長．
（1）m取何值時，方程有兩個正實數(shù)根；
（2）當矩形的對角線長為$\sqrt{5}$時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設矩形的兩鄰邊長為a、b，利用根的判別式的意義和根與系數(shù)的關系得到$\left\{\begin{array}{l}{△=（m+1）^{2}-4•\frac{{m}^{2}+1}{4}≥0}\\{a+b=m+1＞0}\\{ab=\frac{{m}^{2}+1}{4}＞0}\end{array}\right.$，然后解不等式組即可；      
（2）利用勾股定理得到a²+b²=（$\sqrt{5}$）²，再根據(jù)完全平方公式和根與系數(shù)的關系得到（m+1）²-2•$\frac{{m}^{2}+1}{4}$=5，然后解m的方程后利用m的取值范圍確定m的值．

解答 解：（1）設矩形的兩鄰邊長為a、b，則$\left\{\begin{array}{l}{△=（m+1）^{2}-4•\frac{{m}^{2}+1}{4}≥0}\\{a+b=m+1＞0}\\{ab=\frac{{m}^{2}+1}{4}＞0}\end{array}\right.$，
解得m≥$\frac{3}{2}$，
所以當m≥$\frac{3}{2}$時，方程有兩個正實數(shù)根；             
（2）根據(jù)題意得a²+b²=（$\sqrt{5}$）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∵a+b=m+1，ab=$\frac{{m}^{2}+1}{4}$，
∴（m+1）²-2•$\frac{{m}^{2}+1}{4}$=5
整理得m²+4m-12=0，解得m₁=2，m₂=-6，
又∵m≥$\frac{3}{2}$，
∴m=2．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式與矩形的性質(zhì)．