Question

15．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、AC、BC分別交于點(diǎn)E、O、F．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求：
①BO的長；
②菱形AFCE的面積．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△AOE≌△COF，得出對應(yīng)邊相等EO=FO，證出四邊形AFCE為平行四邊形，再由FE⊥AC，即可得出結(jié)論．
（2）①如圖，連接OB，OB為直角△ABC斜邊的一半；
②菱形的面積=兩對角線乘積的一半．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，F(xiàn)E⊥AC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四邊形AFCE為菱形．

（2）如圖，連接OB，
∵AB=5，BC=12，
∴由勾股定理知，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
又∵OB是AC邊上的中線，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=6.5；
②菱形AFCE的面積為：$\frac{1}{2}$EF•AC=$\frac{1}{2}$×6×13=39．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定方法、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．