Question

7．定義：有兩條邊長的比值為$\frac{1}{2}$的直角三角形叫“潛力三角形”．如圖，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，DF∥AE交BC于點(diǎn)F．
（1）設(shè)“潛力三角形”較短直角邊長為a，斜邊長為c，請你直接寫出$\frac{c}{a}$的值為2或$\sqrt{5}$；
（2）若∠AED=∠DCB，求證：△BDF是“潛力三角形”；
（3）若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：①當(dāng)$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$時，$\frac{c}{a}$=2；②設(shè)另一條直角邊長為b，當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$時，b=2a，由勾股定理求出c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，得出$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；即可得出答案；
（2）延長AE交BC于G，由平行線的性質(zhì)得出∠AED=∠CDF，BF=GF，再由已知得出∠CDF=∠DCB，證出DF=CF，由平行線得出CG=GF，得出BF=GF=CG，因此DF=CF=2GF=2BF，得出$\frac{BF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，即可得出結(jié)論；
（3）分四種情況：①當(dāng)$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$時；②當(dāng)$\frac{DF}{BF}$=2時；③當(dāng)$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$時；④當(dāng)$\frac{DF}{BD}$=$\frac{1}{2}$時；求出BC=3，分別求出AB的長，由勾股定理求出AC即可．

解答 （1）解：分兩種情況：
①當(dāng)$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$時，$\frac{c}{a}$=2；
②設(shè)另一條直角邊長為b，當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$時，b=2a，
∵∠B=90°，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故答案為：2或$\sqrt{5}$；
（2）證明：延長AE交BC于G，如圖所示：
∵DF∥AE，D是AB的中點(diǎn)，
∴∠AED=∠CDF，BF=GF，
∵∠AED=∠DCB，
∴∠CDF=∠DCB，
∴DF=CF，
∵DF∥AE，E是CD的中點(diǎn)，
∴CG=GF，
∴BF=GF=CG，
∴DF=CF=2GF=2BF，
∴$\frac{BF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
又∵∠B=90°，
∴△BDF是“潛力三角形”；
（3）解：分四種情況：
①當(dāng)$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$時，
∵BF=1，
∴GF=CG=BF=1，BD=2，
∴AB=2BD=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5；
②當(dāng)$\frac{DF}{BF}$=2時，DF=2BF=2，
∴BD=$\sqrt{D{F}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=2BD=2$\sqrt{3}$，
∵BC=3，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{21}$；
③當(dāng)$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$時，BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2BD=1，
∵BC=3，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
④當(dāng)$\frac{DF}{BD}$=$\frac{1}{2}$時，
設(shè)BD=x，則DF=2x，
由勾股定理得：（2x）²-x²=1²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=2BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵BC=3，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{\sqrt{93}}{3}$；
綜上所述：若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，線段AC的長為5或$\sqrt{21}$或$\sqrt{10}$或$\frac{\sqrt{93}}{3}$．

點(diǎn)評 本題是三角形綜合題目，考查了“潛力三角形”的性質(zhì)與判定、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、分類討論思想的應(yīng)用等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．