Question

已知關于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數）的根為正整數，如圖，梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點C的雙曲線y=

1-k

x

交OB于D，且OD：DB=1：2，求△OBC的面積．

Answer 1

分析：分類討論：當k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；當k≠0，先運用因式分解法解一元二次方程得到x₁=

k-1

k

，x₂=1，由于關于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數）的根為整數，則由x₁=

k-1

k

=1-

1

k

得到k=±1，k=1此時1-k=0舍去，k=-1時，得到雙曲線的解析式為y=

2

x

，進而求出k=0時，y=

1

x

，設D點坐標為（a，b），易得B點坐標為（3a，3b），然后根據三角形面積公式進行計算得出即可．

解答：解：過點D作DE⊥AO于點E，延長BC于點E，
當k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；
當k≠0，
∵[kx-（k-1）]（x-1）=0，
∴x₁=

k-1

k

，x₂=1，
∵關于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數）的根為整數，
而x₁=

k-1

k

=1-

1

k

，
∴k=±1，
∵當k=1時，1-k=0，此時雙曲線y=

1-k

x

系數為0，不合題意舍去，
當k=-1時，1-k=2，
∴綜上所述：k=0，或k=-1，
∴雙曲線的解析式為y=

1

x

或y=

2

x

，
當雙曲線的解析式為y=

1

x

，
設D點坐標為（a，b），
∵DE∥AB，OD：DB=1：2，
∴

DE

AB

=

OE

OA

=

1

3

，
∴B點坐標為：（3a，3b），
∴S_△OBE=

1

2

×3a×3b=

9ab

2

，
∵S_△OCE=

1

2

CE×EO=

1

2

，
S_△DOE=

1

2

DE×EO=

ab

2

=

1

2

，
∴S_△OBE=

9ab

2

=

9

2

，
∴S_△OBC=S_△OBE-S_△OCE=

9

2

-

1

2

=4．

當雙曲線的解析式為y=

2

x

，
有以上可得：∵S_△OCE=

1

2

CE×EO=1，
S_△DOE=

1

2

DE×EO=

ab

2

=1，
∴S_△OBE=

9ab

2

=9，
∴S_△OBC=S_△OBE-S_△OCE=9-1=8．
綜上所述：當k=0時△OBC的面積為4，當k=-1時△OBC的面積為8．

點評：本題考查了反比例函數綜合題以及運用因式分解法解一元二次方程和三角形面積求法等知識；利用分類討論的思想方法得出k的值是解題關鍵．