Question

16．四邊形ABCD中，DC∥AB，AC⊥BD，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．
（1）四邊形EFGH是什么特殊的四邊形？請說明你的理由；
（2）若AB=6，DC=2，求四邊形EFGH的邊長．

Answer 1

分析 （1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進行正方形的判定；
（2）連接HF，利用梯形的中位線定理求出HF的長，然后結(jié)合（1）的結(jié)論，求出EH²=2，即可得出正方形EHGF的邊長．

解答 解：（1）四邊形EFGH是正方形．
理由：∵在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理FG=$\frac{1}{2}$BD，GH=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$BD，
∵在梯形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH為菱形．      
設(shè)AC與EH交于點M，AC與BD交于點O，
∵在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，
∴EH∥BD，同理GH∥AC
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°．
∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°
∴菱形EFGH為正方形；

（2）如圖，連接HF，在梯形ABCD中，
∵H、F分別是AD、BC的中點，
∴HF=$\frac{1}{2}$（AB+DC）=$\frac{1}{2}$（6+2）=4，
在Rt△HEF中，EG²=EH²+HG²，
即16=2EH²，
∴EH²=8，
即EH=$2\sqrt{2}$，
∴四邊形EFGH的邊長為2$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、梯形的中位線定理以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理得出EH=HG=GF=FE，這是本題的突破口．