Question

9．觀察下列各式．①$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；②$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；③$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；④$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$．
（1）設(shè)n為整數(shù)，請用含n的代數(shù)式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．
（2）你能用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$+$\frac{1}{（x-2）（x-3）}$+$\frac{1}{（x-3）（x-4）}$的結(jié)果嗎？

Answer 1

分析 （1）觀察給定等式，根據(jù)等式的變化找出變化規(guī)律“$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n為整數(shù)，且n≠0和-1）”；
（2）以及（1）得出的規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，…，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n為整數(shù)，且n≠0和-1）．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可知：
原式=$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}$，
=$\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-1}$，
=$\frac{3}{（x-4）（x-1）}$．

點評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n為整數(shù)，且n≠0和-1）”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)等式的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．