Question

19．已知：正方形ABCD的邊長為4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)F也從點(diǎn)D出發(fā)沿DC方向相同的速度運(yùn)動(dòng)，記運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0≤t≤4），AF與BE交于P點(diǎn)．
（1）如圖，在運(yùn)動(dòng)過程中，AF與BE相等嗎？請說明理由．
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，要使得△BPC是等腰三角形，t應(yīng)為何值？請畫出圖形，并求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AF=BE，只要證明△ABE≌△DAF即可．
（2）分兩種情形討論：①如圖2中，當(dāng)CP=CB時(shí)，作CM⊥BE垂足為O，交AB于M，先證明AM=BM，再證明△ABE≌△CBM即可，②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，△PBC是等腰三角形，求出t即可．

解答 （1）結(jié)論：AF=BE，
證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠D}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF．
（2）①如圖2中，當(dāng)CP=CB時(shí)，作CM⊥BE垂足為O，交AB于M．
∵△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°
∴∠APE=90°，
∴AF⊥BE，
∴OM∥AP，
∵OP=OB，
∴AM=BM，
∵∠ABE+∠AEB=90°∠ABE+∠CMB=90°，
∴∠AEB=∠CMB，
在△ABE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBM=90°}\\{∠AEB=∠CMB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBM，
∴AE=BM=2，
∴t=2，
②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，△PBC是等腰三角形，此時(shí)t=4，
③當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)A處，點(diǎn)F在點(diǎn)D處，則AF于BE的交點(diǎn)P于點(diǎn)A重合，此時(shí)，△BPC顯然是等腰直角三角形
∴t=0或2或4時(shí)，△BPC是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，正確畫出圖形，屬于中考�？碱}型．