Question

16．如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B分別在x軸和y軸上，且OA=OB，邊AC所在直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，若△ABC的內(nèi)心在y軸上，則tan∠ACB的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 △ABO是等腰直角三角形，然后根據(jù)△ABC的內(nèi)心在y軸上，則BO是∠ABC的平分線，△ABC是直角三角形，求得BC的解析式，進(jìn)而求得BC的長，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．

解答 解：在y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$中，令y=0，則$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，解得x=1，
∵OA=OB，
∴B的坐標(biāo)是（0，1），AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，△OAB是等腰直角三角形．
∵△ABC的內(nèi)心在y軸上，
∴∠ABC=2∠ABO=90°，即△ABC是直角三角形，
設(shè)BC的解析式是y=x+c，
則把（0，1）代入得c=1，
則BC的解析式是y=x+1，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即C的坐標(biāo)是（-3，-2）．
則BC=$\sqrt{{3}^{2}+（-2-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
則tanACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故選B．

點評 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)說明△ABC是直角三角形是本題的關(guān)鍵．