Question

12．已知一個(gè)長方形的長為（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）cm，寬為（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）cm，請分別求出它的面積和對角線的長．

Answer 1

分析 長方形的面積等于長乘以寬，計(jì)算時(shí)應(yīng)用平方差公式比較簡便；求長方形的對角線應(yīng)用勾股定理，注意二次根式的運(yùn)算

解答 解：如圖所示：

∵在Rt△BCD中，BC=（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）cm，CD=（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）cm，且∠BCD=90°，
∴S_{四邊形ABCD}=（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）
=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$）²
=8-2
=6（cm²）
由勾股定理得：
BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$
=$\sqrt{（2\sqrt{3}+\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{3}-\sqrt{2}）^{2}}$
=$\sqrt{12+4\sqrt{6}+2+12-4\sqrt{6}+2}$
=2$\sqrt{7}$（cm）
即：該長方形的面積和對角線的長分別是6cm²、2$\sqrt{7}$cm

點(diǎn)評 本題考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵的是二次根式的運(yùn)算：（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$）²、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）²=（2$\sqrt{3}$）²+2×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$+（$\sqrt{2}$）²
=12+4$\sqrt{6}$+2等．