Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，CD⊥AB于點(diǎn)D，O為AB的中點(diǎn)．
（1）以C為圓心，6為半徑作圓，試判斷點(diǎn)A，D，B與⊙C的位置關(guān)系．
（2）當(dāng)⊙C的半徑為多少時(shí)，點(diǎn)O在⊙C上．
（3）若以點(diǎn)C為圓心作圓，使A、O、B三點(diǎn)至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙C的半徑r的取值范圍是什么？

Answer 1

分析 （1）各點(diǎn)到C的距離與半徑6作對(duì)比，大于半徑的在圓外，等于半徑的在圓上，小于半徑的在圓內(nèi)；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得OC=5，所以當(dāng)半徑為5時(shí)，O在⊙C上；
（3）對(duì)比OC＜AC＜BC，確定O在圓內(nèi)，B在圓外，寫出半徑r的取值即可．

解答 解：（1）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴A在⊙C上，
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
6×8=10CD，
CD=4.8＜6，
∴D在⊙C內(nèi)，
∵BC=8＞6，
∴B在⊙C外；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴當(dāng)⊙C的半徑為5時(shí)，點(diǎn)O在⊙C上；
（3）∵AC=6，OC=5，BC=8，
∴OC＜AC＜BC，
∴當(dāng)5＜r＜8時(shí)，A、O、B三點(diǎn)至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，至少有一點(diǎn)在圓外，

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、勾股定理，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．