Question

12．如圖：AD是△ABC中BC邊上的中線，A′D′是△A′B′C′中B′C′邊上的中線，$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}=\frac{AD}{A′D′}$，試說明△ABC∽△A′B′C′．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AD到E使DE=AD，連結(jié)BE，延長(zhǎng)A′D′到E′，使D′E′=A′D′，如圖，先證明△BDE≌△CDA得到BE=AC，∠EBD=∠C，同理可得B′E′=A′C′，∠E′B′D′=∠C′，于是利用$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}=\frac{AD}{A′D′}$可得$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{AE}{A′E′}$，則根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似得到△ABE∽△A′B′E′，得到∠ABE=∠A′B′E′，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BAC=∠B′A′C′，然后根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ABC∽△A′B′C′．

解答 證明：延長(zhǎng)AD到E使DE=AD，連結(jié)BE，延長(zhǎng)A′D′到E′，使D′E′=A′D′，如圖，
∵AD是△ABC中BC邊上的中線，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDA}\\{DE=DA}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA，
∴BE=AC，∠EBD=∠C，
同理可得△B′D′E′≌△C′D′A′，
∴B′E′=A′C′，∠E′B′D′=∠C′，
∵$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}=\frac{AD}{A′D′}$，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{AE}{A′E′}$，
∴△ABE∽△A′B′E′，
∴∠ABE=∠A′B′E′，
∴∠ABC+∠C=∠A′B′C′+∠C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
而$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
∴△ABC∽△A′B′C′．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．