Question

3．如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向形外作正△ABD和正△ACE，且DF∥AE，EF∥AD．
（1）當∠BAC滿足什么條件時，四邊形ADFE為矩形？
（2）當∠BAC滿足什么條件時，四邊形ADFE不存在？
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE為菱形？
（4）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE為正方形？
（以上4小題，都不需說明理由）

Answer 1

分析 （1）當∠BAC=150°時，可求得∠DAE=90°，四邊形ADFE是矩形；
（2）當∠BAC=60°時，可求得∠DAE=180°，即D，A，E共線，則可得當∠BAC=60°時，平行四邊形ADFE不存在；
（3）由四邊形ADFE是平行四邊形，可得AD=AE時，即AB=AC時，平行四邊形ADFE是菱形；
（4）由四邊形ADFE是平行四邊形，可得AD=AE時，即AB=AC時，且滿足∠BAC=150°，四邊形ADFE是正方形．

解答 解：∵DF∥AE，EF∥AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∵△ABD與△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
（1）當∠BAC=150°時，
理由：∵∠DAE=360°-∠BAC-∠DAB-∠EAC=90°，
∴∠BAC=150°，四邊形ADFE為矩形．
（2）當∠BAC=60°時，平行四邊形ADFE不存在．
理由：∵∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=60°+60°+60°=180°，
∴D，A，E共線，
∴平行四邊形ADFE不存在．
（3）當AB=AC時，平行四邊形ADFE是菱形．
理由：∵AD=AB，AE=AC，AB=AC，
∴AD=AE，
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴平行四邊形ADFE是菱形．
（3）AB=AC時，且∠BAC=150°，四邊形ADFE為正方形．
理由：∵AD=AB，AE=AC，AB=AC，
∴AD=AE，
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴平行四邊形ADFE是菱形．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAE=90°，
∴四邊形ADFE為正方形．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形、正方形、菱形的判定以及等邊三角形的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．