Question

14．觀察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，由此可知$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=1$-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）計算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$．

Answer 1

分析 （1）由已知的等式得出$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）利用上面的規(guī)律拆分相互抵消計算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$
=1-$\frac{1}{2013}$
=$\frac{2012}{2013}$．

點評 此題考查有理數(shù)的混合運算，利用拆分的規(guī)律，拆分計算，相互抵消是解決問題的關(guān)鍵．