Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，分別平行于x、y軸的兩直線a、b相交于點A（3，4）．連接OA，若在直線b上存在點P，使△AOP是等腰三角形．那么所有滿足條件的點P的坐標是

 

．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定,坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：先根據(jù)題意化成符合條件的所有情況，再根據(jù)A的坐標和等腰三角形的性質(zhì)逐個求出即可．

解答：
解：∵A（3，4），
∴由勾股定理得：OA=5，OM=3，AM=4，
如圖，有三種情況：①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作弧交直線b于P₁，此時OP=OA，
P₁M=AM=4，
即此時P的坐標是（3，-4）；
②以A為圓心，以O(shè)A為半徑作弧交直線b于P₂，P₃，此時OP=PA，
P₃M=5+4=9，P₂M=5-4=1，
即此時P的坐標是（3，9）或（3，-1）；
③作OA的垂直平分線交直線b于P₄，此時AP=OP，
則3²+P₄M²=（4-P₄M）²，
解得：P₄M=

7

8

（負數(shù)舍去），
此時P的坐標是（3，

7

8

），
故答案為：（3，

7

8

）或（3，-4）或（3，-1）或（3，9）．

點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：用了分類討論思想．