Question

將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C=30°，AB=2BC．
（1）固定三角板A₁B₁C，然后將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，AB與A₁C、A₁B₁分別交于點D、E，AC與A₁B₁交于點F．
①填空：當旋轉(zhuǎn)角等于20°時，∠BCB₁=

 

度；
②當旋轉(zhuǎn)角等于多少度時，AB與A₁B₁垂直？請說明理由．
（2）將圖2中的三角板ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置，使AB∥CB₁，AB與A₁C交于點D，試說明A₁D=CD．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A₁CA=20°，則利用互余得∠ACB₁=70°，然后根據(jù)∠BCB₁=∠ACB+∠ACB₁進行計算；
②利用AB與A₁B₁垂直得∠A₁ED=90°，則∠A₁DE=90°-∠A₁=60°，根據(jù)對頂角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形內(nèi)角和定理得∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA₁=90°-∠A₁CB=30°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A₁B₁垂直；
（2）由于AB∥CB₁，∠ACB₁=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=

1

2

AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=A₁C，所以CD=

1

2

A₁C，則A₁D=CD．

解答：解：（1）①∵將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，
∴∠A₁CA=20°
∴∠ACB₁=70°，
∴∠BCB₁=∠ACB+∠ACB₁=160°；
故答案為160；
②當旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A₁B₁垂直．理由如下：
當AB與A₁B₁垂直時，∠A₁ED=90°，
∴∠A₁DE=90°-∠A₁=90°-30°=60°，
∴∠BDC=60°，
∵∠B=60°，
∴∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA₁=90°-∠A₁CB=30°；
即旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A₁B₁垂直；
（2）∵AB∥CB₁，∠ACB₁=90°，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴CD=

1

2

AC，
∵圖2中的三角板ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置，
∴AC=A₁C，
∴CD=

1

2

A₁C，
∴A₁D=CD．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．