Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c，經(jīng)過A（0，-4），B（x₁，0），C（x₂，0）三點，且|x₂-x₁|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（0，-4）代入可求c，運用兩根關(guān)系及|x₂-x₁|=5，對式子合理變形，求b；
（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；
（3）由四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點的坐標(biāo)與線段OB的長度關(guān)系，判斷是否為正方形即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c，經(jīng)過點A（0，-4），
∴c=-4
又∵由題意可知，x₁、x₂是方程-$\frac{2}{3}$x²+bx-4=0的兩個根，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$b，x₁x₂=6
由已知得（x₂-x₁）²=25
又∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=$\frac{9}{4}$b²-24
∴$\frac{9}{4}$b²-24=25
解得b=±$\frac{14}{3}$，當(dāng)b=$\frac{14}{3}$時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-$\frac{14}{3}$．
（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點D必在拋物線的對稱軸上，
又∵y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4=-$\frac{2}{3}$（x+$\frac{7}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，
∴拋物線的頂點（-$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$）即為所求的點D．
（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形，點B的坐標(biāo)為（-6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P必是直線x=-3與
拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4的交點，
∴當(dāng)x=-3時，y=-$\frac{2}{3}$×（-3）²-$\frac{14}{3}$×（-3）-4=4，
∴在拋物線上存在一點P（-3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標(biāo)只能是（-3，3），但這一點不在拋物線上

點評 本題考查了拋物線解析式的求法，根據(jù)菱形，正方形的性質(zhì)求拋物線上符合條件的點的方法．