Question

18．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當(dāng)∠BQD=30°時，求AP的長；
（2）證明：在運動過程中，點D是線段PQ的中點；
（3）當(dāng)運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出QC=2PC，建立方程求解決即可；
（2）先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°，進(jìn)而判斷出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出結(jié)論；
（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得出EF=$\frac{1}{2}$AF，借助DF=DB，即可得出DF=$\frac{1}{2}$BF，最后用等量代換即可．

解答 （1）解：設(shè)AP=x，則BQ=x，
∵∠BQD=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，即x+6=2（6-x），
解得x=2，
即AP=2．
（2）證明：如圖，

過P點作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP即D為PQ中點，
（3）運動過程中線段ED的長不發(fā)生變化，是定值為3，
理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴$EF=\frac{1}{2}AF$，
又∵△DQB≌△DPF，
∴$DF=DB，即DF=\frac{1}{2}BF$，
∴$ED=EF+DF=\frac{1}{2}（AF+BF）=\frac{1}{2}AB=3$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△DQB≌△DPF是解本題的關(guān)鍵，作出輔助線是解本題的難點，是一道比較簡單的中考�？碱}．