Question

8．如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，BE的長為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或1．

Answer 1

分析 當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．
連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=$\sqrt{5}$，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，所以點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，則EB=EB′，AB=AB′=1，可計(jì)算出CB′=$\sqrt{5}$-1，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=2-x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．
②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形．

解答 解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．
連結(jié)AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，
∴∠AB′E=∠B=90°，
當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，
∴點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，
∴EB=EB′，AB=AB′=1，
∴CB′=$\sqrt{5}$-1，
設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=2-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′²+CB′²=CE²，
∴x²+（$\sqrt{5}$-1）²=（2-x）²，解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．
此時(shí)ABEB′為正方形，
∴BE=AB=1．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或1．

點(diǎn)評 本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．