Question

1．已知關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m+1）x+2=0
（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值；
（3）若a是方程的實數(shù)根，求代數(shù)式ma³-（4m+1）a²+4（m+1）a+5的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意m≠0，則計算判別式有△=（2m-1）²≥0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)果；
（2）可先用求根公式表示出兩根，再根據(jù)方程的根都是整數(shù)，可求得m的值；
（3）根據(jù)一元二次方程的解的定義得到ma²-（2m+1）a+2=0，變形為ma³-（2m+1）a²+2a=0，然后把所求的代數(shù)式變形后利用整體代入的方法進行計算．

解答 （1）證明：∵方程mx²-（2m+1）x+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m≠0，
∵△=（2m+1）²-4m×2=（2m-1）²≥0，
∴此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：x=$\frac{（2m+1）±\sqrt{（2m+1）^{2}-4m×2}}{2m}$，
∴x₁=2，x₂=$\frac{1}{m}$．
當m為整數(shù)1或-1時，x₂為整數(shù)，即該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，
∴m的值為1或-1，

（3）解：∵a是方程的實數(shù)根，
∴ma²-（2m+1）a+2=0，
∴ma³-（2m+1）a²+2a=0，
∴ma³=（2m+1）a²-2a代入ma³-（4m+1）a²+4（m+1）a+5得，
∴（2m+1）a²-2a-（4m+1）a²+4（m+1）a+5=-2ma²+（4m+2）a-4+9
=-2[ma²-（2m-1）a+2]+9=9．

點評 本題主要考查一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的情況是解題的關(guān)鍵，即△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，△＜0?方程無實數(shù)根．