Question

14．如圖，AC∥CD，AP和CP分別平分∠BAC和∠ACD，過點(diǎn)P分別作PG⊥AC于點(diǎn)G，PE⊥AB于點(diǎn)E，EP的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠APC=90°；
（2）求證：PE=PF；
（3）當(dāng)AE=1，CF=4時(shí)，PE=2．

Answer 1

分析 （1）欲證明∠APC=90°，只要證明∠PAC+∠PCA=90°即可．
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證明．
（3）作AM⊥CD于M，先證明四邊形AMFE是矩形，在RT△ACM中求出AM即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP和CP分別平分∠BAC和∠ACD，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠PCA=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠PAC+∠PCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACD）=90°，
∴∠APC=180°-（∠PAC+∠PCA）=90°．
（2）證明：∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∵AP和CP分別平分∠BAC和∠ACD，
∴PE=PG，PG=PF，
∴PE=PF．
（3）解：作AM⊥CD于M，
在RT△APE和RT△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APG，
∴AE=AG=1，
同理CG=CF=4，
∵∠AMF=∠EFM=∠AEF=90°，
∴四邊形AMFE是矩形，
∴AM=EF，AE=MF=1，
在RT△ACM中，∵∠AMC=90°，AC=5，CM=3，
∴AM=EF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4，
∴PE=$\frac{1}{2}$EF=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，第三個(gè)問題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形角問題，屬于中考�？碱}型．