Question

19．（1）商店有A、B、C、D四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學(xué)去該店購(gòu)買飲量，每種飲料被選中的可能性相同．
①若他去買一瓶飲料，求他買到A飲料的槪率；
②若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲枓不同，求他恰好買到A和B飲料的概率．
（2）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是 AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接ME并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD、AN．
①求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
②當(dāng)AM為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形？

Answer 1

分析 （1）①直接利用概率公式求解；
②先畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出買到A和B飲料的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解；
（2）①先根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB∥CD，則利用平行線的性質(zhì)得∠DNM=∠AMN，于是可利用“AAS”判定△AME≌△DNE，得到AM=DN，加上AM∥DN，則可根據(jù)平行四邊形的判定方法得到四邊形AMDN是平行四邊形；
②根據(jù)矩形的判定方法，當(dāng)MN=AD時(shí)，即AE=EM時(shí)，四邊形AMDN是矩形，利用四邊形ABCD為菱形可得AD=AB=2，則AE=2，接著判斷△AEM為等邊三角形，得到AM=2，即當(dāng)AM為2時(shí)，四邊形AMDN是矩形．

解答 （1）解：①他買到A飲料的槪率=$\frac{1}{4}$；
②畫(huà)樹(shù)狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中買到A和B飲料的結(jié)果數(shù)為2，
所以他恰好買到A和B飲料的概率=$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$；
（2）①證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNM=∠AMN，
∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AME和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠DNE}\\{∠AEM=∠DEN}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DNE，
∴AM=DN，
而AM∥DN，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；
②解：∵四邊形AMDN是平行四邊形，
∴當(dāng)MN=AD時(shí)，即AE=EM時(shí)，四邊形AMDN是矩形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=2，
∴AE=2，
而∠DAB=60°，
∴△AEM為等邊三角形，
∴AM=2，
即當(dāng)AM為2時(shí)，四邊形AMDN是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了列表法與樹(shù)狀圖法、平行四邊形和矩形的判定．