Question

等腰△ABC中，AB=AC=4

5

，BC=8，則它的外接圓半徑為

 

；如圖，△ABC中，∠ACB=120°，AB=6，則它的外切圓⊙O的半徑為

 

．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,三角形的外接圓與外心

專題：計算題

分析：如圖1，作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=

1

2

BC=4，再利用三角形外心的定義得到△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，利用勾股定理，在Rt△ABD中計算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到4²+（8-r）²=r²，再解關(guān)于r的方程即可；
如圖2，作直徑BD，連結(jié)AD，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠D=180°-∠ACB=60°，再根據(jù)圓周角定理由BD為直徑得∠BAD=90°，然后在Rt△ADB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出BD．從而得到三角形外接圓半徑．

解答：解：如圖1，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=

1

2

BC=4，
∴△ABC的外接圓的圓心在AD上，
連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△ABD中，∵AB=4

5

，BD=4，
∴AD=

AB2-BD2

=8，
在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，
∴4²+（8-r）²=r²，解得r=5，
即△ABC的外接圓的半徑為5；
如圖2，作直徑BD，連結(jié)AD，
∵∠D+∠ACB=180°，
∴∠D=180°-120°=60°，
∵BD為直徑，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ADB中，∠ABD=30°，AB=6，
∴AD=

3

3

AB=2

3

，
∴BD=2AD=4

3

，
∴△ABC的外接圓半徑為2

3

．
故答案為5，2

3

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查來哦三角形外接圓與外心．