Question

3．如圖，頂角為120°的等腰△ABC的腰長為6，P為底邊BC上一點(diǎn)，且BP=2PC，含30°、60°的直角三角板中30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)且始終交△ABC的兩腰于E、F兩點(diǎn)．
（1）求證：△BEP∽△CPF；
（2）若EF∥BC，試求AF的長．

Answer 1

分析 （1）找出△BPE與△CFP的對應(yīng)角，其中∠BEP=150°-∠BPE，∠CPF=150°-∠BPE，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問題；
（2）過A作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=3，解直角三角形得到BD=3$\sqrt{3}$，求得BC=6$\sqrt{3}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE•FC=2PC²，得到FC=$\sqrt{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BEP=180°-∠B-∠BPE=150°-∠BPE，
∠CPF=180°-∠EPF-∠BPE=150°-∠BPE，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP；
（2）解：過A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB=6，
∴AD=3，
∴BD=3$\sqrt{3}$，
∴BC=6$\sqrt{3}$，
∵△BPE∽△CFP，
∴$\frac{BP}{FC}$=$\frac{BE}{PC}$，
∴BE•FC=2PC²，
∵EF∥BC，AB=AC，
∴BE=CF，
∴FC²=2PC²，
∴FC=$\sqrt{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$，
∴AF=AC-FC=6-2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 此題考查相似的綜合題．關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解題，它以每位學(xué)生都有的30°三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力．