Question

13．對(duì)于一個(gè)矩形ABCD及⊙M給出如下定義：在同一平面內(nèi)，如果矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)到⊙M上一點(diǎn)的距離相等，那么稱這個(gè)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=$\sqrt{3}$x-3交x軸于點(diǎn)M，⊙M的半徑為2，矩形ABCD沿直線運(yùn)動(dòng)（BD在直線l上），BD=2，AB∥y軸，當(dāng)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)“伴侶矩形”的定義可知：圓上的點(diǎn)一定在矩形的對(duì)角線交點(diǎn)上，因?yàn)橹挥袑?duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由此畫出圖形，先求出直線與x軸和y軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，和矩形的長(zhǎng)和寬；
有兩種情況：①矩形在x軸下方時(shí)，作輔助線構(gòu)建相似三角形得比例式，分別求出DG和DH的長(zhǎng)，從而求出CG的長(zhǎng)，根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②矩形在x軸上方時(shí)，也分別過C、B兩點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，利用平行相似得比例式，求出：C（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

解答 解：如圖所示，矩形在這兩個(gè)位置時(shí)就是⊙M的“伴侶矩形”，
根據(jù)直線l：y=$\sqrt{3}$x-3得：OM=$\sqrt{3}$，ON=3，
由勾股定理得：MN=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
①矩形在x軸下方時(shí)，分別過A、D作兩軸的垂線AH、DG，
由cos∠ABD=cos∠ONM=$\frac{ON}{MN}$=$\frac{AB}{BD}$，
∴$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{AB}{2}$，AB=$\sqrt{3}$，則AD=1，
∵DG∥y軸，
∴△MDG∽△MNO，
∴$\frac{DG}{ON}=\frac{DM}{MN}$，
∴$\frac{DG}{3}=\frac{2-1}{2\sqrt{3}}$，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
同理可得：$\frac{DH}{OM}=\frac{DN}{MN}$，
∴$\frac{DH}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$，
∴DH=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$，
∴C（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
②矩形在x軸上方時(shí)，同理可得：C（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
故答案為：（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)和矩形等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來．同時(shí)，正確理解題意準(zhǔn)確畫出符合條件的矩形是本題的關(guān)鍵，這就需要熟練掌握矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．