Question

1．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若BC=$\sqrt{3}$，AC=5，求圓的直徑AD及切線BE的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等弦所對的劣弧相等，再結(jié)合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD，最后用直徑所對的圓周角為直角即可；
（2）利用三角形的中位線先求出OF，再用平行線分線段成比例定理求出半徑R，最后根據(jù)相似求出BE即可．

解答 解：如圖，

連接OB，∵BD=BC，
∴∠CAB=∠BAD，
∵∠EBD=∠CAB，
∴∠BAD=∠EBD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，OA=BO，
∴∠BAD=∠ABO，
∴∠EBD=∠ABO，
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，
∵點B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切線，

（2）如圖2，

設(shè)圓的半徑為R，連接CD，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵BC=BD，
∴OB⊥CD，
∴OB∥AC，
∵OA=OD，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BDE=∠ACB，
∵∠DBE=∠ACB，
∴△DBE∽△CAB，
∴$\frac{DB}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{5}=\frac{DE}{\sqrt{3}}$，
∴DE=$\frac{3}{5}$，
∵∠OBE=∠OFD=90°，
∴DF∥BE，
∴$\frac{OF}{OB}=\frac{OD}{OE}$=$\frac{DF}{BE}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{R}=\frac{R}{R+\frac{3}{5}}$，
∵R＞0，
∴R=3，
∴AD=2R=6，
在Rt△ODF中，OF=$\frac{5}{2}$，OD=R=3，
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$
∵$\frac{OF}{OB}=\frac{DF}{BE}$，
∴BE=$\frac{OB•DF}{OF}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{11}}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3\sqrt{11}}{5}$

點評 此題是切線的判定，主要考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和相似，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．