Question

9．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上且AE=BF=1，連接BE、CF交于點(diǎn)G，在線段EG上取一點(diǎn)H使HG=BG，連接DH，把△EDH沿AD邊翻折得到△EDH’，則點(diǎn)H到邊DH’的距離是$\frac{24}{25}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先連接HH'，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，判定△ABE≌△BCF，再根據(jù)勾股定理求得CF=$\sqrt{10}$，BG=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，進(jìn)而得出EH：HB=2：3，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得PE=$\frac{2}{5}$，PH=$\frac{6}{5}$，PD=$\frac{12}{5}$，最后設(shè)點(diǎn)H到邊DH'的距離是h，根據(jù)面積法得到$\frac{1}{2}$×HH'×PD=$\frac{1}{2}$×DH'×h，求得h的值即可．

解答 解：連接HH'，交AD于P，則AD垂直平分HH'，
∴DH=DH'，即△DHH'是等腰三角形，
∵正方形ABCD的邊長為3，AE=BF=1，∠A=∠FBC=90°，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE=∠BCF，CF=BE，
又∵∠ABE+∠GBC=90°，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
∴BG⊥CF，
∵BF=1，BC=3，
∴Rt△BCF中，CF=$\sqrt{10}$，BG=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，
∴HG=BG=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，
又∵CF=BE=$\sqrt{10}$，
∴HE=$\frac{4}{10}\sqrt{10}$，
∴EH：HB=2：3，
∵PH∥AB，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{PH}{AB}$=$\frac{2}{5}$，即$\frac{PE}{1}$=$\frac{PH}{3}$=$\frac{2}{5}$，
∴PE=$\frac{2}{5}$，PH=$\frac{6}{5}$，PD=$\frac{12}{5}$，
∴Rt△PDH中，DH=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}+2）^{2}}$=$\frac{6}{5}\sqrt{5}$=DH'，HH'=2×$\frac{6}{5}$=$\frac{12}{5}$，
設(shè)點(diǎn)H到邊DH'的距離是h，則
$\frac{1}{2}$×HH'×PD=$\frac{1}{2}$×DH'×h，
∴$\frac{12}{5}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{6}{5}\sqrt{5}$×h，
∴h=$\frac{24}{25}\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)H到邊DH'的距離是$\frac{24}{25}\sqrt{5}$．
故答案為：$\frac{24}{25}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題以折疊問題為背景，主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)面積法列出等式求得點(diǎn)H到邊DH'的距離，解題時注意方程思想的運(yùn)用．