Question

14．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的中點，E是AC上一點，DF∥BE，EF∥AB，且DF、EF相交于F．
（1）求證：AE、DF互相平分；
（2）當(dāng)EA=EB時，試判斷四邊形ADEF的形狀．

Answer 1

分析 （1）設(shè)DF與AE的交點為O，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BDFE是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點的性質(zhì)得出AD=BD=EF，在△AOD和△EOF中，根據(jù)AAS得出△AOD≌△EOF，從而得出OA=OE，OD=OF，即可證出AE、DF互相平分；
（2）根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)DF與AE的交點為O，
∵DF∥BE，BD∥EF，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴EF=BD，
∵D是AB中點，
∴AD=BD=EF，
∵AD∥EF，
∴∠DAO=∠OEF，
在△AOD和△EOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠FOE}\\{∠AO=∠DEF}\\{AD=EF}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOF（AAS），
∴OA=OE，OD=OF，
∴AE、DF互相平分；

（2）四邊形ADEF是矩形，
理由：∵EA=EB，
∴AE=DF，
∴四邊形ADEF是矩形．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，用到的知識點是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，利用全等三角形來得出簡單的線段相等是解題的關(guān)鍵．