Question

12．如圖，已知D為△ABC的邊BC上一點，BC=DE，∠BAD=∠CAE，∠C=∠E，∠ADB=75°．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求∠CDE的度數(shù)；
（3）若AB=6，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知求得∠BAC=∠DAE，再由已知∠E=∠C，BC=DE，所以根據(jù)ASA可判定△ABC≌△ADE；
（2）關(guān)鍵全等三角形的性質(zhì)得到AB=AD，∠ADE=∠B，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ADB=75°，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；
（3）過D作DF⊥AB于F，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠1=30°，求得DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=3，即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{∠C=∠E}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；

（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠ADE=∠B，
∴∠B=∠ADB=75°，
∴∠ADE=75°，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE=30°；

（3）過D作DF⊥AB于F，
∵∠B=∠ADB=75°，
∴∠1=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DF=$\frac{1}{2}×6×3$=9．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平角的定義，三角形的面積的計算，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解決（3）題的關(guān)鍵．