Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在BC上，且CD=2BD，連接AD，求證：AD⊥AC．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE，∠B=∠C=°30，設(shè)BD=1，則CD=2，BC=3，BE=CE=$\frac{3}{2}$，解直角三角形得到AB=AC=$\frac{BE}{cns30°}$=$\sqrt{3}$，證得$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{AC}$，推出△ABE∽△DCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，∠B=∠C，
設(shè)BD=1，則CD=2，BC=3，BE=CE=$\frac{3}{2}$，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AB=AC=$\frac{BE}{cns30°}$=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$，
即$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{AC}$，
∴△ABE∽△DCA，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∴AD⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線解題的關(guān)鍵．