Question

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，∠ADE=30°，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，得出∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，證出∠AFD=∠C，即可得出結(jié)論；
（2）證出AD⊥AE，由∠ADE=30°，求出AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=6，AD=2AE=12，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AD⊥AE，
∵∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=6，
∴AD=2AE=12，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，
即$\frac{4\sqrt{3}}{CD}=\frac{6\sqrt{3}}{12}$，
解得：CD=8，∴AB=8．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．