Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，將矩形沿AE折疊，使B落到B′的位置，并且B′E與對角線BD垂直．
（1）證明：∠B′AD=∠ADB；
（2）判斷△AEF的形狀，并說明；
（3）設AB=x，求△AEF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）證明AB′∥BD，即可解決問題．
（2）證明∠AEB=∠AEB′；證明∠FAE=∠BEA，得到∠AEB′=∠FAE，即可解決問題．
（3）證明△AB′F∽△DAB，得到

AB′

B′F

=

AD

AB

=2；由AB=AB′=x，得到B′F=

1

2

x；由勾股定理求出AF=

5

2

x，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°；
由題意得：B′E⊥BD，∠B′=∠B=90°，
∴AB′∥BD，
∴∠ADB=∠B′AD．
（2）△AEF是等腰三角形．
證明：根據(jù)題意可知：∠AEB=∠AEB′；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠AEB′=∠FAE，
∴△AEF是等腰三角形．
（3）∵∠B′=∠BAD，∠ADB=∠B′AD，
∴△AB′F∽△DAB，
∴

AB′

B′F

=

AD

AB

=2，而AB=AB′=x，
∴B′F=

1

2

x；
由勾股定理得：AF²=AB′²+B′F²，
∴AF=

5

2

x，
∴S=

AF•AB

2

=

5

4

x2．

點評：該題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線的判定、三角形的面積公式等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．