Question

11．如圖，在正方形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E在邊CD上，CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．有下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=6．其中正確的結(jié)論是①②③．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL證明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正確；
設(shè)BG=FG=x，則CG=12-x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正確；
由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正確；
通過(guò)計(jì)算三角形的面積得出④錯(cuò)誤；即可得出結(jié)果．

解答 解：①正確．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折疊的性質(zhì)得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正確．理由如下：
由題意得：EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=4，設(shè)BG=FG=x，則CG=12-x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（12-x）²+8²=（x+4）²，
解得：x=6，
∴BG=6，
∴GC=12-6=6，
∴BG=GC；
③正確．理由如下：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④錯(cuò)誤；理由如下：
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=$\frac{3}{5}$×24=$\frac{72}{5}$≠6．
故④不正確．
∴正確的個(gè)數(shù)有①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定的難度．