Question

19．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CEAF是矩形？請證明你的結(jié)論．
（3）在（2）問的結(jié)論下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠OEC=∠OCE，證出EO=CO，同理得出FO=CO，即可得出EO=FO；
（2）由對角線互相平分證明四邊形CEAF是平行四邊形，再由對角線相等即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)勾股定理求出AC，得出△ACE的面積=$\frac{1}{2}$AE×EC，再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•AC，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，
∴EO=FO；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEAF是矩形；
理由如下：
由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中點(diǎn)，
∴AO=CO，
∴四邊形CEAF是平行四邊形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四邊形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四邊形CEAF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
△ACE的面積=$\frac{1}{2}$AE×EC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵12²+5²=13²，
即AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×12×5=30．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線、等腰三角形的判定、勾股定理以及面積的計(jì)算；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．