Question

14．如圖，直線y=3x-6與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P在線段AB上，當(dāng)AP：BP=1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在y軸上，已A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令直線y=3x-6中，x和y分別為0可求得對(duì)應(yīng)的y和x的值，故此可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程，從而可求得b，c的值，故此可得到拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D，依據(jù)平行線的分線段成比例定理可求得OD的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線AB的解析式，可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（3）令y=0得：x²+x-6=0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到AC=5．①當(dāng)AC為平行四邊形的邊長(zhǎng)時(shí)，則MN=AC=5．可得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x．依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得x=-1，將x=-1代入拋物線的解析式得：y=-6．故此可求得此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令直線y=3x-6中，x=0，則y=-6，
∴B（0，-6）．
令直線y=3x-6中，y=0，解得x=2，
∴A（2，0）．
將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：c=-6，b=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+x-6．

（2）如圖1所示：過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D．

∵PD∥OB，AP：BP=1：2，
∴AD：OD=1：2．
又∵AO=2．
∴OD=$\frac{4}{3}$．
將x=$\frac{4}{3}$代入y=3x-6得：y=-2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，-2）．

（3）令y=0得：x²+x-6=0，解得：x=-3或x=2，
∴C（-3，0）．
∴AC=5．
①當(dāng)AC為平行四邊形的邊長(zhǎng)時(shí)，則MN=AC=5．
又∵點(diǎn)N在y軸上，
∴M的橫坐標(biāo)為±5．
當(dāng)M的橫坐標(biāo)為5時(shí)，y=5²+5-6=24，
∴M的坐標(biāo)為（5，24）．
當(dāng)M的橫坐標(biāo)為-5時(shí)，y=（-5）²-5-6=14，
∴M的坐標(biāo)為（-5，14）．
②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x．
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知$\frac{x+0}{2}$=$\frac{-3+2}{2}$，解得x=-1，
將x=-1代入拋物線的解析式得：y=-6．
∴M的坐標(biāo)為（-1，-6）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-6）或（5，24）或（-5，14）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．