Question

4．如圖，已知AD是等邊△ABC的角平分線，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AD=6，BD=2，點(diǎn)M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，求△BEM的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 作點(diǎn)B關(guān)于AH的對(duì)稱點(diǎn)B′，由等邊三角形的性質(zhì)可知B′與點(diǎn)C重合，連接CE，則CE的長(zhǎng)度即為EM與BM和的最小值，由等邊三角形的性質(zhì)可求出△CAE≌△ACD，則CE=AD=6．

解答 解：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，
∵△ABC是等邊三角形，
∴B′與點(diǎn)C重合，連接CE，則CE的長(zhǎng)度即為ME與MB和的最小值
∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，∠ACE=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=30°，AC=AC，
在△CAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDA}\\{∠ACE=∠CAD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△ACD，
∴CE=AD=6．
∴△BEM的周長(zhǎng)的最小值=6+2=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是最短線路問(wèn)題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．