Question

8．如圖，有一塊面積為1的正方形ABCD，M、N分別為AD、BC邊的中點，將C點折至MN上，落在點P的位置，折痕為BQ，連結PC交BQ于E．連結PQ．BP．
（1）求證PB=PC； 
（2）求MP的長度；  
（3）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得BQ垂直平分PC，進而可得△PBC是等邊三角形；
（2）由（1）中的等邊三角形可得PN的值．根據(jù)圖形的關系可MP=MN-PN，代入數(shù)據(jù)可得答案；
（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°；再在Rt△BCQ中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得PQ的值，進而可得答案．

解答 （1）解：由折法知點P是點C關于折痕BQ的對稱點．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M、N分別為AD、BC邊上的中點，且ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等邊三角形．
∴PB=PC； 

（2）證明：由（1）知△PBC是等邊三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，∠BPN=$\frac{1}{2}$×∠BPC=30°，
∴PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MP=MN-PN=．

（3）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴以PQ為邊的正方形的面積為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換．解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．