Question

10．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2與x軸相交于點A和點B，與y軸相交于點C，在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠BCO？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 先利用拋物線與x軸的交點問題，通過解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0得到A（-1，0），B（4，0），再求出C（-2，0），接著利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-2x-2，再證明△AOC∽△COB得到∠BCO=∠CAO，所以過B作BP∥AC交拋物線于P，滿足∠PBO=∠BCO，然后確定直線與拋物線的交點坐標可確定此時P點坐標；再利用對稱性可確定當點P與點C關于直線x=$\frac{3}{2}$對稱時，滿足∠PBO=∠BCO，易得此時P點坐標為（3，-2）．

解答 解：存在．
當y=0時，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x₁=-1，x₂=4，則A（-1，0），B（4，0），
當x=0時，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，則C（-2，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-1，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以直線AC的解析式為y=-2x-2；
∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，
而∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BCO=∠CAO，
過B作BP∥AC交拋物線于P，則∠PBO=∠CAB，則∠PBO=∠BCO，
設此時BP的解析式為y=-2x+t，
把B（4，0）代入得-8+t=0，解得t=8，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∴此時P點坐標為（-5，18）；
拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，
當點P與點C關于直線x=$\frac{3}{2}$對稱時，∠CAO=∠PBO，則∠PBO=∠BCO，
∴此時P點坐標為（3，-2），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-5，18）或（3，-2）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．