Question

20．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個交點為P（$\sqrt{6}$，m）．
（1）求k的值；
（2）將直線y=-x向上平移c（c＞0）個單位后，與x軸、y軸分別交于點A，點B，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在x軸上方的一支交于點Q，且BQ=2AB，求c的值；
（3）在（2）的條件下，將線段QO繞著點Q逆時針旋轉(zhuǎn)90°，設(shè)點O落在點C處，且直線QC與y軸交于點D，求BD：AC的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先由QB=2AB，得出AQ=3AB，進(jìn)而判斷出△AOB∽△AEQ，即可得出點Q（-2c，3c），再用待定系數(shù)法求出c即可；
（3）先確定出直線OQ的解析式，進(jìn)而得出CQ的解析式，用OQ=CQ建立方程即可確定出點C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵P（$\sqrt{6}$，m）在直線y=-x上，
∴m=-$\sqrt{6}$，
∴P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$），
∵P在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=$\sqrt{6}$×（-$\sqrt{6}$）=-6，
（2）如圖1，

設(shè)直線AB的解析式為y=-x+c，
∴A（c，0），B（0，c），
∴OA=OB=c，
過點Q作QE⊥x軸，
∴OB∥QE，
∴△AOB∽△AEQ，
∴$\frac{OA}{AE}=\frac{OB}{QE}$=$\frac{AB}{AQ}$，
∵BQ=2AB，
∴AQ=3AB，
∴$\frac{OA}{AE}=\frac{OB}{QE}=\frac{1}{3}$，
∴AE=3OA=3c，QE=3OB=3c，
∴OE=AE-OA=2c，
∵點Q在第二象限，
∴Q（-2c，3c），
∵點Q在雙曲線y=-$\frac{6}{x}$上，
∴-2c×3c=-6，
∴c=-1（舍）或c=1；
（3）如圖2，

由（2）知，c=1，
∴A（1，0），B（0，1），Q（-2，3），
∴直線OQ的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x，
由旋轉(zhuǎn)知，CQ=OQ，OQ⊥CQ，
∴直線CQ的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{13}{3}$，
∴D（0，$\frac{13}{3}$），
設(shè)C（n，$\frac{2}{3}$n+$\frac{13}{3}$），
∵Q（-2，3），
∴OQ²=13，CQ²=（n+2）²+（$\frac{2}{3}$n+$\frac{13}{3}$-3）²=$\frac{13}{9}$（n+2）²，
∴13=$\frac{13}{9}$（n+2）²，
∴n=-5（舍）或n=1，
∴C（1，5），
∵A（1，0），
∴AC=5，
∵B（0，1），D（0，$\frac{13}{3}$），
∴BD=$\frac{13}{3}$-1=$\frac{10}{3}$，
∴BD：AC=$\frac{10}{3}$：5=2：3．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形即可用c表示出點Q的坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是確定出點C的坐標(biāo)．