Question

如圖，B、O是線段AC的三等分點，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，D為⊙為上一點且DC=DA．
（1）判斷AD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OD、BD，根據(jù)OD=OC，DA=DC，求得∠A=∠C=∠ODC，根據(jù)已知求得AO=BC，進而根據(jù)SAS證得△AOD≌△CBD，從而求得∠ADO=∠CDB=90°，即可證得AD是⊙O的切線．
（2）先求得∠COD=120°，進而根據(jù)S_陰影=S_扇形-S_△COD即可求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）AD是⊙O的切線，證明如下：
連接OD、BD，
∵OD=OC，DA=DC，
∴∠A=∠C=∠ODC
∵B、O是線段AC的三等分點，
∴AB=BO=CO，
即AO=BC，
在△AOD和△CBD中，

AD=DC ∠A=∠C AO=BC

，
∴△AOD≌△CBD（SAS），
∴∠ADO=∠CDB，BD=OD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠ADO=∠CDB=90°，
∴OD⊥DA，
∴AD是⊙O的切線．
（2）∵BD=OD=OB，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠COD=120°，
∵⊙O的半徑為2，
∴S_△COD=

3

，
∴S_陰影=S_扇形-S_△COD=

120π×22

360

-

3

=

4

3

π-

3

．

點評：本題考查了切線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算等，作出輔助線根據(jù)直角三角形是解題的關(guān)鍵．